2022年度明治大学理工学部〔Ⅰ〕(1) - 大学受験問題解説記事

〔目次〕

問題

問題

解答はマークシートで、各文字には0~9の数字が該当する。

(a) 多項式の剰余の問題

剰余の定理というものがある。

詳しくはリンク先の記事を読んでいただきたいが、簡単に（難しく）示すと以下のようになる。

$f(x) = g(x)P(x) + あまり \tag{1}$

式 $f(x)$ ：割られる数（式）

式 $g(x)$ ：割る数（式）

式 $P(x)$ ：商

さて、これを頭に入れて問題文を見てみると、

$f(x)$ を $(x-2)$ で割るから、

$f(x) = (x-2)P(x) + r 　（r あまり）$

とおける。

この式のすべての $x$ に $x = 2$ を代入すると、

$\displaystyle \begin{align} f(2) &= 0 \times P(x) + r \\ (2+2)(2-1)^{10} \times 1^{10} &= r \\ \therefore r &= 4 \end{align}$

となり、これが答えとなる。

剰余の定理については以下の記事で分かりやすく解説しています。
juken-kaisetsu.hatenablog.com

(b) 二項定理による一般項の係数

もちろん、わざわざ展開して全部の係数を求めることが正解なわけがない。

$(a+b)^2$ のような2項の累乗式が出てきた場合、疑うべきは二項定理。

また詳しくはリンク先を見ていただきたいが、ここでいう二項定理を簡単に（難しく）説明すれば、

$(a+b)^2$ を展開したとき、 $a^{n-r}b^r$ の係数が、 $_nC_r$ となる
ことである。

さて、今回の問題文に戻る。

以下の説明のために、 $(x-1)^{10}$ の内、 $x^9(-1)^1$ の係数を $b_9$ 、 $x^{10}(-1)^0$ の係数を $b_{10}$ とする。

それを用いて $f(x)$ を一部計算すると、

$\begin{align} f(x) &= (x+2)(x-1)^{10} \\ &= (x+2)\{ \cdots b_9 x^9 (-1)^1 + b_{10} x^{10} (-1)^0 \cdots \} \\ \end{align}$

となり、求めたい $x^{10}$ の係数は、

$b_9 (-1)^1 + 2 \times b_{10} (-1)^0$

となる。計算すれば、式 $(x-1)^{10}$ を展開した中で、 $x^{10}$ の係数となるのは、 $-b_9 + 2 b_{10}$ となる。

つまり、 $x^9$ と $x^{10}$ の係数を求めてあげれば良さそうだ。

では、上の二項定理を使って求めていく。

$\begin{align} b_9 &= _{10}C_9 = _{10}C_1 = 10 \\ b_{10} &= _{10}C_{10} =1 \end{align}$

となる。

よって答えは、

$-10 + 2 \times 1 = -8$

となる。

二項定理については以下の記事で分かりやすく解説しています。
juken-kaisetsu.hatenablog.com

(c) 二項定理による一般項の係数

まずは泥臭く解く方法を解説する。

$(x-1)^{10} = b_0 - b_1x + b_2x^2 -b_3x + \cdots -b_9x^9 + b_{10}x^{10}$

と置く。符号が $+$ と $-$ で交互になっているのは、 $(-1)^n$ が $+1$ と $-1$ を交互に繰り返すことに影響している。

これを用いれば、

$\begin{align} a_0 &= 2b_0 \\ a_2 &= 2b_2 - b_1 \\ a_4 &= 2b_4 - b_3 \\ a_6 &= 2b_6 - b_5 = 2b_4 - b_5 \\ a_8 &= 2b_8 - b_7 = 2b_2 - b_3 \\ a_{10} &= 2b_{10} - b_9 = 2b_0 - b_1 \end{align}$

となる。 $b_6 = b_4$ や、 $b_7 = b_3$ などは、二項定理で $_{10}C_6 = _{10}C_4$ であったり、 $_{10}C_7 = _{10}C_3$ であることを用いている。

これより、

$\begin{align} & a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} \\ &=2b_0 + (2b_2 - b_1) + (2b_4 - b_3) + (2b_4 - b_5) + (2b_2 - b_3) +(2b_0 - b_1) \\ &= 3 (b_0 + b_2 + b_4) - 2 (b_1 + b_3) - b_5 \\ &= 3 (_{10}C_0 + _{10}C_2 + _{10}C_4 ) - 2 (_{10}C_1 + _{10}C_3 ) -_{10}C_5 \\ &= 3( 1 + 45 + 210 ) - 2 (10 + 120 ) - 252 \\ &= 256 \end{align}$

と求められる。

次に、これを鮮やかに解く方法を紹介する。

$\begin{align} f(1) &= a_0 + a_1 + a_2 + a_3 \cdots + a_9 + a_{10} \\ f(-1) &= a_0 - a_1 + a_2 - a_3 \cdots - a_9 + a_{10} \end{align}$

辺々を足すと、
$\begin{align} f(1) + f(-1) &= 2(a_0 + a_2 + \cdots + a_{10}) \\ \therefore a_0 + a_2 + \cdots + a_{10} &= \frac{1}{2} (f(1) + f(-1)) \end{align}$
となる。