2022年度静岡大学理工学部 1⃣ - 大学受験問題解説記事

〔目次〕

問題
解説
- (1)
- (2)
- (3)
- (4)
感想

問題

解答は記述式。

解説

問題文に一切図が無いので、まずは問題文を図に落とすところからスタート。

$\angle OCA = \phi$ とした。

また、中心Oから辺ABにおろした垂線と辺ABとの交点を点Mとした。

(1)

考え方としては、△OBCが正三角形であることは固定なので、それを土台にして点Aがどこを動くのか考えていけばよい。

問題文をよく読むと大事なヒントが隠されている。

「△ABCを鋭角三角形とし、」

この一言が大事で、つまりどの内角も90度より小さいことを示している。

まず角Bが90度になるときを考えると、 $\theta = 30^\circ$ となる。

そこから点Aを右へ動かしていくと、 $\theta$ はどんどん小さくなり、やがて角Cが90度になる場合まで動く。

このとき、 $\theta = 0^\circ$ となる。

この範囲で動くことを考えると、

$0 \leq \theta \leq 30^\circ$

が答えとなる。

もう少し理論的な解き方をするべきなのかもしれないが、さすがに(1)からそこまで重い証明を求めているわけではないだろう。

(2)

これはさすがに受験生をなめすぎではないか。笑

半径が $R$ なので、 $AM = R\cos\theta$ となる。よって、

$AB = 2R\cos\theta$

サービス問題！

(3)

三角形の面積を求める公式は色々あるが、ここでは、辺BCと辺ABの長さ、そしてその間の角Bが全てわかっているので、

$\displaystyle S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin\angle ABC$

を用いていこう。

mathaska.blog.fc2.com

少し補足する点があるなら、△OBCが正三角形だから、辺BCの長さは $R$ になるということくらいだろうか。

$\displaystyle \begin{align} S &= \frac{1}{2} \cdot 2R\cos\theta \cdot R \cdot \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) \\ &=R^2 \sin \left(\theta + \frac{\pi}{3} \right) \cos\theta \end{align}$

ここまでは数分で答えを出していきたいところ。。

(4)

さあいよいよ本題。

$S$ の最大値を求めよということで、つまりこの大問では三角関数の最大最小がうまく扱えますかということを試したかったんだろうね。

こういう時は、強引に微分して求めるか、三角関数の様々な式変形を使ってうまく式をまとめていくか、どちらか。

基本的な攻略法は後者を試してどうしてもうまくいかなかったときに前者の微分を用いることを推奨する。

ということでまずは(3)で求めた $S$ を式変形していく。

三角関数の式変形で大事なのは、三角関数が1つにまとまることを目標にすると大体うまくいく。

$\displaystyle \begin{align} S &= R^2 \sin \left(\theta + \frac{\pi}{3} \right) \cos\theta \\ &= R^2 \left( \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta \right) \cos\theta \\ &= \frac{R^2}{2} \left( \sin\theta\cos\theta + \sqrt{3} \cos^2\theta \right) \\ &= \frac{R^2}{2} \left(\frac{1}{2}\sin2\theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\cos2\theta + 1 \right) \right) \\ &= \frac{R^2}{4} \left(\sin2\theta + \sqrt{3}\cos2\theta + \sqrt{3} \right) \\ &= \frac{R^2}{4} \left\{2\sin \left(2\theta + \alpha \right) + \sqrt{3} \right\} \left(ただし、\tan\alpha = \sqrt{3} \therefore \alpha=\frac{\pi}{3} \right) \end{align}$