2022年度明治大学理工学部〔Ⅱ〕 - 大学受験問題解説記事

〔目次〕

問題
解説
- (あ)
- (い)
- (う)
- (え)
- (お)
- (か)
感想

問題

解答は記述式で、各文字には数や式が自由に入る。

解説

問題文に一切図が無いので、まずは問題文を図に落とすところからスタート。

前半部分をまとめるとこうなる。

(あ)

図１において、点Pは線分ABと円Oの接点なので、 $\angle\mathrm{OPA}=\angle\mathrm{OPB}=90^\circ$ となる。

つまり、 $\bigtriangleup \mathrm{OPA}$ に注目してあげれば、三角関数 $\tan$ の定義に従って、

$\displaystyle \tan \alpha = \frac{1}{t}$

(い)

上と同様にして、 $\bigtriangleup \mathrm{OPB}$ に注目してあげれば

$\displaystyle \tan \beta = \frac{1}{3-t}$

(う)

$\tan$ の加法定理を覚えて入れば楽勝。

$\displaystyle \begin{align} \tan(\alpha + \beta) &= \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\ &= \frac{ \frac{1}{t} + \frac{1}{3-t}}{1- \frac{1}{t}\frac{1}{3-t}} \\ &= \frac{ (3-t) + t }{t(3-t)- 1} \\ &=\frac{3}{-t^2+3t-1} \end{align}$

juken-kaisetsu.hatenablog.com

(え)

$0 < \alpha + \beta < \pi /2$ の時、 $\tan(\alpha + \beta) > 0$ となる。

(う)より、 $\displaystyle \tan(\alpha+\beta) = \frac{3}{-t^2+3t-1}$ となるので、右辺の分母を $P(t) = -t^2 +3t -1$ と置く。

すると、この問題文は、 $P(t)$ が正となるときの $t$ の取り得る値の範囲を求めるただの二次関数の問題となる。

分子は $3$ で正なので、 $P(t)$ が正なら右辺は正になり、左辺の $\tan(\alpha+\beta)$ も正になるということだ。

$P(t)$ について考えると、

$\displaystyle \begin{align} P(t) &= -t^2 + 3t -1 \\ &= -\left(t - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{5}{4} \end{align}$

だから、これを図示すると、

となる。

よって、 $P(t)$ について横軸（ $t$ 軸）との交点を見つけてあげればそれが答えとなる。

$\displaystyle \begin{align} P(t) &= -t^2 + 3t -1 = 0 \\ \therefore t &= \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \end{align}$

以上とグラフをふまえて、

$\displaystyle \begin{align} \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} < t < \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \end{align}$

が答えとなる。

(お)

問題文も後半になり情報が増えてきたので一度図を描き直すと、以下のようになる。

ここで、 $\angle OCQ = \gamma$ とした。

さて、ここで $\gamma$ について考えよう。

なぜか？

$OQ$ の長さは内接円の半径だから $1$ と分かっている。

それにさきほどまでの(あ)(い)を考えてみよう。

半径が分かっているから、 $\tan\gamma$ がわかれば求めたい $CQ$ の長さも求められる。

見通しとしては、 $\tan\gamma$ を求めて、答えが $\displaystyle CQ = \frac{1}{\tan\gamma}$ となる。（ $\displaystyle \tan\gamma = \frac{QO}{CQ}） [tex: \gamma$ について分かっていること、つまり $\gamma = \pi - (\alpha + \beta)$ であることは、、、以下で少しだけ説明しよう。

内接円の性質から、 $\angle OAP = \angle OAQ = \alpha$ となり、同様に $\beta$ 、 $\gamma$ もその隣の角が同じ値になる。

そうなると、この $\triangle ABC$ の内角について、

$2(\alpha + \beta + \gamma) = \pi$

となるから、 $\displaystyle \gamma = \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)$ となる。

ここまでくれば話は早い。

$\displaystyle \begin{align} \tan\gamma &= \tan\{ \frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)\} \\ &= \frac{1}{\tan(\alpha + \beta)} \\ &= \frac{-t^2+3t-1}{3} \end{align}$

よって、

$\displaystyle \begin{align} CQ &= \frac{1}{\tan\gamma} \\ &= \frac{3}{-t^2+3t-1} \end{align}$

(か)

三角形の面積の求め方は色々あるが、ここでは内接円が出てきていてその半径も分かっているので、内接円を用いた求積方法を用いる。

mathaska.blog.fc2.com

$\displaystyle \begin{align} S &= \frac{1}{2}\times1\times(AB + BC+ CA) \\ &= \frac{1}{2} ( AP + BP + CQ ) \times 2 \\ &= AP + BP + CQ \\ &= 3 + \frac{3}{-t^2+3t-1} \end{align}$